ラマヌジャンのπ公式は数学的に「ブラックホール語」だった (3/3)

専門家向けの解説

本論文で「ブラックホール」が顔を出すのは、ラマヌジャンのπの逆数級数と、2次元の対数共形場理論（LCFT：相関関数に対数が現れる共形場理論）の対応を、ホログラフィー（重力の時空と境界の場の理論を対応させる考え方）として読み替える局面です。

著者らは本編の結論としてホログラフィー的な解釈を議論すると明記しており、LCFTが「ホログラフィーにも現れる」と位置づけています。

中心になるのは付録で提示される「ルジャンドル関係式のホログラフィー解釈」です。

そこで扱うのは、漸近的に反ド・ジッター（AdS：負の曲率をもつ重力時空の標準模型）に近いシュワルツシルト型のブラックブレーン背景（ブラックホールの“平面版”に相当する模型）中のスカラー場です。

さらに質量をブライテンローナー–フリードマン境界（BF bound：AdSでの安定性の下限）ちょうどに調整すると、このスカラーのバルク–バルクGreen関数（時空内部の2点応答に相当）の構造が、LCFTの相関関数の骨格と一致すると述べます。

特に、周波数と運動量をゼロにした静的成分（ゼロモード）が物理的に重要であり、そのラジアル方程式には「境界で正則な解」と「地平線で正則な解」という自然な2つの基底が現れます。

境界で正則な解は地平線側で対数的特異性を持ち、地平線で正則な解は境界側で対数的特異性を持つ、という“ログ”の性格が、重力側では「どこで正則性を課すか」という境界条件の違いとして具現化されます。

そしてGreen関数は、ソース点を境にこれら2解の積を貼り合わせた形で書け、結果としてLCFT相関関数と同型の構造になる、とまとめています。

この同型性を“ただの似姿”で終わらせず、ブラックブレーン物理に結びつける鍵が、ルジャンドル関係式をワロンシアン（Wronskian：2つの独立解から作る保存量）として読む視点です。

著者らは、ここでのルジャンドル関係式がラジアル方程式のワロンシアンそのものになっており、したがってラジアル方向に保存する「シンプレクティック流束（symplectic flux：解の組が運ぶ保存フラックス）」を意味すると述べます。

の保存則は、Green関数の全体の規格化が「どの半径で評価しても同じ」ように固定されることを保証し、さらに境界理論側の量へ直結します。

境界の言葉に直すと、静的感受率（static susceptibility：外場のソースに対する応答の比例係数）は赤外（IR：地平線側の物理）だけで決まり、地平線での正則性と保存ワロンシアンが、境界での「ソース係数と応答係数の比」を固定する、という主張になります。

著者らはこれを、地平線データが境界のゼロ周波数応答を支配するという“radial Gauss law”のロジック、すなわち膜パラダイム（membrane paradigm：地平線を有効膜として扱う輸送公式の背後にある考え方）の静的スカラー極限だと位置づけています。

さらにブラックブレーンらしい解釈として、数学側で出てくる「モジュラー方程式の次数」を、ブラックブレーンの熱円周（ユークリッド時間の周期）に対するn重被覆として読む、という幾何学的見立てが提示されます。

著者らの説明では、モジュラー・スライス上ではこの被覆によって「境界正則基底」と「地平線正則基底」が代数的因子を除いて同値になり、特異値で両者が整列するため、混合チャンネルの表現が単一チャンネルへ“崩壊”します。

その操作が、本編で強調される「収束がパラメトリックに速くなる」理由であり、被覆空間では各項がn回分の巻き上げ（windings）をまとめて数えるためだ、と述べられています。

ここで重要なのは、速収束という計算上の利得が、熱円周の多重構造というブラックブレーンの熱幾何と結びつけて語られている点です。

最後に、論文の分散表現（dispersive formula：不連続性やスペクトル密度から関数を再構成する表現）の“ホログラフィー意味”として、静的バルク–バルクGreen関数を「地平線に対応するブランチカット上のデータ」からスペクトル再構成する見方が提示されます。

積分変数は地平線を貫くブランチカットに沿って走り、境界正則解を地平線越しに別の解析枝（第二リーマンシート）へ移したものが現れるのは、紫外（UV：境界側）ブロックのカットが赤外（IR：地平線側）ブロックに比例するという構造の反映だと説明されます。

カットが供給するのはスペクトル密度で、これは地平線での流入条件（ingoing condition：地平線へ落ち込む境界条件）で決まり、保存フラックスが静的な規格化を固定することで、物理的なGreen関数が再現される、という整理です。

さらに、分散表現に入るパラメータ（本文ではラムダ）は同じGreen関数を表す“表現の自由度”に過ぎず、重みを2つのラジアルチャンネル間で付け替えるだけで不変であること、変化分は同次解の付け足しとして解釈できるが、地平線流入条件とワロンシアン規格化で係数がゼロに固定されるため新しい物理は含まれない、つまり「分散のゲージ選択」だと明言されています。

要するに本論文がブラックホール（ブラックブレーン）について与えているのは、「特定の質量に調整したスカラーの静的Green関数」を媒介に、LCFT相関関数のログ構造と、地平線正則性・保存フラックス・熱円周の多重被覆・地平線カットからの再構成という、ブラックブレーン側の標準的構造が、数学的恒等式や速収束展開の“物理的な中身”として読み替えられる、という一貫した意味づけです。