レストランの食事を選ぶ数学的原理、50年間未解読だったファインマンのメモで明らかに (6/6)

メモの内容

ファインマンのメモは、ランチの席で走り書きした「2枚の紙」です。1枚目は計算途中や書き直し（消し跡）だらけの“考えながら解いたページ”、2枚目は答えを清書した“きれいなページ”、という構成になっています。字が癖だらけで長年「解読不能」とされてきましたが、研究者のグリフィス氏が「これは最適停止問題（いつ探すのをやめるかを決める問題）の閾値の解き方だ」と見抜いたことで、ようやく筋が通りました。

まずいちばん上で、問題の前提を置いています。「店の点数（スコア）は0〜1のあいだで均等にばらつく」「平均はだいたい真ん中（メモの“est.≈50”は、100点満点なら50点の意）」という、単純化した世界の設定です。右上にいくつか描かれた曲線のスケッチは、この“点数のばらつき”や確率（面積）を目で確かめるための図とみられます。

次に、いちばん簡単な「2泊だけ」のケースを手始めに解きます。「今夜ある店Xに入り、その点が基準（閾値）を超えていたら明日も同じXへ、超えていなければ別の店を試す」という作戦の“期待できる合計点”を、積分（∫…dx＝ばらつき全体をならして合計する計算）を使って書き出しています。そして、その合計点がいちばん高くなる基準を求めると、ちょうど50%（0.5）になる——これが最初の突破口となりました。

そこから一般のケースへの拡張に入ります。店の点と基準Pの大小で「1.」「2.」「3.」と場合分けをしながら、残りの泊数を変数にしていきます。中ほどの「n remain（残りn泊）」のくだりが核心で、「基準を超える店に当たったら、以後はずっとその店に通う（残り回数ぶん得点を稼ぐ）」という形で式を立て、整理していくと、残りn泊のときの最適な基準＝√n ÷（√n＋1）という結論にたどり着きます。残りが多いほど基準は高く、最終夜には平均（0.5）まで下がる、という例の式です。

いちばん下では、出てきた式を逆向きに使い、「ある基準Pに対応する残り泊数は（P/(1−P)）²になる」という関係を書き、具体的な数字を当てはめて式の振る舞いを検算しています。答えが出たあとに数字を入れて確かめる——いかにも物理学者らしい手つきです。

そして2枚目は、こうして得た答えを、書き直しなしできれいにまとめ直した清書ページ、というわけです。

一見ただの数式の落書きですが、上から下へ「前提を置く→いちばん簡単な場合を解く→一般化する→検算する」という、問題解決のお手本のような流れがそのまま刻まれているのです。