でも、少しは赤っぽくなります
月は高度が低い位置に現れると夕日や朝日同様に、赤みがかって見えます。
これは大気中の粒子で波長の短い光が散乱してしまうためです。
青い光は波長が短いので、大気中で散乱します。空が青く光って見えるのは、青い光だけ大気中の粒子に散乱されて地上に降り注ぐためです。
太陽光が直接差し込んでくる方向以外は、散乱した光しか見ることができません。そのため、よく見ると空は太陽と逆方向に行くほど、青色が濃くなって、太陽に近い空ほど白っぽくなっています。
そんなわけで、太陽の光は大気中を長い距離進むほど、青色が散乱して消えてしまい赤色だけになるのです。
つまり、夕方など太陽が地表に近づくと、差し込む光が大気中を進む距離は長くなるので、赤くなります。
6月は夏至の時期で、月が非常に地表に近づく季節なので、満月も通常より赤みがかって見えます。
しかし、別にこれは6月に限った話ではなく、月が地表に近ければいつでも見られる現象です。特にストロベリームーンとは関連がありません。