どうして0で割ってはいけないの？ (3/3)

不思議な証明に隠れている0除算

最後に、「2=1の証明」を紹介します。
（※虚構新聞「『２と１は等しい』　数学界で論議」より引用）

おかしな部分がコッソリ隠れているので、探してみて下さいね！

まず、

$$a=b$$

とします。

両辺にaをかけると

$$a^2=ab$$

となります。

両辺からbの2乗を引くと

$$a^2-b^2=ab-b^2$$

となります。

左辺に因数分解の公式を使い、右辺をbでくくると

$$(a-b)(a+b)=b(a-b)$$

となります。

両辺を(a-b)で割ると

$$a+b=b$$

となります。

a=bより、a+b=b+b=2bなので

$$2b=b$$

となり、両辺をbで割ると

$$2=1$$

となってしまいました！

ふつうに計算しているように見えますが…おかしなところに気づきましたか？

それは「両辺を(a-b)で割ると」の部分です。

a=bなので、「(a-b)で割る」とは「0で割る」ということ。そして、「(a-b)÷(a-b)=1」、つまり、「0÷0=1」として計算していたのです。

また、最後も、さりげなく両辺をbで割っていますが、割り算をするときは「0で割ってないか？」をチェックしなければなりません。

もしも、今回のように「a=b」しか与えられておらず、どうしてもbで割りたい場合は「bが0でないとき」と限定する必要があります。

こんな風に「0除算」に注意することで、おかしな証明のヒミツを見抜けることがあるのです。

また、見抜くだけでなく、「0除算が隠れたおかしな証明」を自作してみるのも楽しそうですね！

今回、最初に出題した「3÷0」や「0÷0」を考えるためには、「割り算の定義」を確認する必要がありました。

このように、数学では「定義」を確認することがとても大切です。

ぜひ、割り算以外にも「○○の定義って、なんだろう？」と調べたり、「どうして、こんな風に定義したんだろう？」と考えたりしてみてくださいね。

数学の面白さを、より感じられるかもしれませんよ！

＜補足＞
今回の記事では、考えている数の集合として「実数」や「複素数」を前提としています。実数や複素数は「体（たい）」と呼ばれる性質を満たしており、これが今回のような除法の話と関連しています。
関心のある方は「数学　体」で検索してみてくださいね！