どうして0で割ってはいけないの？ (2/3)

3÷0はいくつ？0÷0はいくつ？

まず、「3÷0」について考えてみましょう。

「3÷0の答えは存在し、その答えはcである」と仮定して、割り算の定義にしたがって考えてみると……

cは

c×0=3

となる数、つまり、「0をかけると3となる数」のこととなります。

しかし、「0をかけると3となる数」は存在しません。

これは、3だけではなく、0でない数aに対しても、同じことが言えます。

「a÷0の答えは存在し、その答えはcである」と仮定すると……

cは

c×0=a

となる数、つまり、「0をかけるとaとなる数」のこととなります。

aが0でない場合は、「0をかけるとaとなる数」は存在しません。

では次に、「0÷0」について考えてみましょう。

「0÷0の答えは存在し、その答えはcである」と仮定すると……

cは

c×0=0

となる数、つまり、「0をかけると0となる数」のこととなります。

先ほどとは違い、このようなcは存在します。例えば、c=1の場合に、c×0=1×0=0となりますよね。

「じゃあ、0÷0=1だ！」と言いたいところですが、c=2やc=3など、cにどんな数を入れても「c×0=0」は成り立ってしまうのです。

となると、先ほどの割り算の定義にあった「ちょうど1つ存在する」の部分に矛盾してしまいます。

以上をまとめると、

・aが0でないとき、a÷0=cと仮定すると、このようなcは存在しない
・0÷0=cと仮定すると、このようなcは1つに定まらない

ということになり、以下の割り算の定義

“
a÷bとは、「bをかけるとaとなるcがちょうど1つ存在するとき」そのcのこととする。
“
（難波博之「学校では絶対に教えてもらえない超ディープな算数の教科書」p.58より引用）

に矛盾してしまうのです。

そのため、「a÷0は定義されない」とするのが一般的になっています。

こんな背景から、「0で割ってはいけない」と言われているんですね。