光の結び目からできた時空結晶 (4/4)

やや詳しい解説（専門家向け）

技術的背景と前提

本研究は、2色の構造化光から得られる時間変調された偏光を擬似スピン（pseudospin）として扱い、(x, y, t) の時空（z=0 のビームウエスト面）上にホプフィオン結晶（時間周期の1D鎖、さらに空間×時間周期の3D結晶）を設計・数値実証したものです。従来の「伝搬軸 z に沿う回折・Gouy 位相の利用」による光学ホプフィオン生成とは異なり、設計の主舞台を z=0 の1枚の面（spatiotemporal domain）に固定し、二色ビート（bichromatic beating）を主役に据えています。結果として、回折に依存しないトポロジカル設計指針が提示されます。

擬スピン場の定義（2色光）

2つの波長 λ1, λ2 をもつ電場を重ねた全電場を E(t) とし、偏光の時間変化を擬スピン s(t) に写像します。擬スピンは正規化ストークス・ベクトルの拡張として

s(t) = (sx, sy, sz)

sx = [E*(t) sigma3 E(t)] / [E*(t) E(t)]

sy = [E*(t) sigma1 E(t)] / [E*(t) E(t)]

sz = [E*(t) sigma2 E(t)] / [E*(t) E(t)]

で定義されます（sigma1, sigma2, sigma3 は Pauli 行列）。二色の波長比が有理数のとき、E(t) は時間に対してビート周期を持ち、擬スピンは周期的に閉じた軌跡（Lissajous 的）を描きます。波長差が小さい極限では、s(t) は瞬時ストークスに近似されます。

1D 時空ホプフィオン結晶（基本設計）

横断面 (x, y) と時間 t で完結する1周期セル内に、ホプフィオンの境界条件（中心と無限遠で spin-up、内部に spin-down の輪）を満たすよう、円偏光の 2成分に異なる空間モードを割り当てます。最も基本の P=1 構成は概略

E(r, t) =

[ LG00(r,t|λ1) + LG01(r,t|λ2) ] * e_L

+ [ LG10(r,t|λ1) – LG10(r,t|λ2) ] * e_R

（r=(x,y), e_L/e_R は左/右円偏光の単位ベクトル）。
LG00 と LG01 の半径方向での位相反転により強度ゼロのリング（spin-down 円）が形成され、他方成分の LG10 を対に配置することで時間軸上の境界条件（瞬間的な一様 spin-up）を実現します。これにより、等方位線（isospin lines）がトーラス上の閉曲線をなす 3D 結び目構造が1周期ごとに現れます。Hopf 密度を体積積分して得られるHopf 数 Q_Hは基礎例でほぼ整数（≈ ±1）です。

高次化と符号反転（設計つまみ）

ホプフィオンの Hopf 数は Q_H = P × Q（P は (x,y) 面の巻き数、Q は (x,t) 面の巻き数）で与えられます。本論文では主として P の制御を示し、任意の整数 Pを持つセルを合成します。鍵は、LG0p を重み付きで重ねて半径多項式 r^(2pm) − r0^(2pm) を合成することです。代表的な構成は

W1(r,t|λ) = sum_{p=0..pm} [ (-1)^p / (pm! (pm-p)! p!) ] * LG0p(r,t|λ)

W2(r,t|λ) = [ (2 r0^2 / w0^2)^pm / pm! ] * LG00(r,t|λ)

を用い、

E(r,t) = [ W1(r,t|λ1) – W2(r,t|λ2) ] * e_L

+ [ LG_l0(r,t|λ1) + LG_l0(r,t|λ2) ] * e_R

とすると P = l（l は方位次数）を実現できます。数値例として P=2,3 では、Hopf 密度積分から Q_H = −2, −3 が得られています。さらに、二色の波長を入れ替えるだけで Q_H の符号反転が可能です（Q の詳細制御は P より難しいが、符号操作は容易）。

3D 時空ホプフィオン結晶（遠方界での合成）

遠方界（far field）で格子状の擬スピン場を作るため、点状の放射源アレイ（双極子）を二色・二偏光で駆動する設計が示されています。概略は次の通りです。

1. まず 1 波長あたり 16 個の周辺ソース（+ 中央 1 個の計 17）で、スキルミオニウム格子を遠方界に合成（右円偏光側で OAM±1 の格子、左円偏光側で OAM なし・各セルに閉曲線ゼロ強度）。
2. これを2色に拡張して時間ビートを与え、さらに中央の左円偏光ソースを逆位相ビートで重ねると、一様 spin-upの瞬間とスキルミオニウム出現の瞬間が交互に現れ、3D（空間×時間）ホプフィオン結晶が得られます。
3. 遠方界の格子定数一致のため、各ソースの相対位置は波長に比例スケーリングが必要です。

得られる単位スーパーセルは4つのサブセルからなり、スキルミオニウム/反スキルミオニウムが交互に配置されます。Hopf 密度は**+1 と −1 が交互に出現し、交互トポロジーが実現します。補足では、1 波長あたり 17 ソース（理想的には二色で位置がわずかにずれるため計 33 位置**）の配置表・複素振幅・偏光が具体に提示されています。

トポロジカル評価（Hopf 密度と不変量）

擬スピン場 s(x,y,ζ)（ζ=ct）から擬磁場 F とベクトルポテンシャル A を定義し、Hopf 密度 ρ_H = F · A を積分して Q_H を得ます。

Q_H = (1 / (4 pi)^2) ∫∫∫ F · A dx dy dζ

F_i = (1/2) * epsilon_ijk * [ s · (partial_j s cross partial_k s) ]

curl A = F

ゲージに依存して ρ_H の形は変わり得ますが、体積積分 Q_H はゲージ不変です。計算は空間・時間の 3D フーリエ空間で curl A = F を解く形で実装されています。

伝搬（“飛ぶ”条件）と設計上の留意点

本研究の時空設計はz=0 面で議論されていますが、ビートによる包絡変調が回折拡がりを上回る設計条件では、ホプフィオン列が有限距離を伝搬しつつ Q_H を保持することが数値的に示されています。Rayleigh 長が「格子の空間周期」より十分大きいときは Q_H が理想値に近い一方、同程度以下に短くなると負の Hopf 密度が混入し、Q_H は理想値から劣化します。すなわち、Rayleigh 長 >> 周期が安定伝搬の目安です。

既存アプローチとの差分

• 回折・Gouy 位相を意図的に活用して z 方向で構造を組む先行法に対し、本設計はz=0 面の時空干渉（2色ビート）で局所的に 3D トポロジーを実現。
• 高次 Hopf 数の系統設計（P の任意整数化と符号反転）が、LG モードの合成と二色パラメタの切替だけで与えられる。
• 遠方界アレイという実装指向の具体設計（ソース配置・偏光・位相・スケーリング条件）が提示されている。

数値設定の代表例（再現の足がかり）

• 二色比の一例：λ1 = 1 μm, λ2 = 1/1.01 μm（ビート長 ct = 100 μm 例）。
• ビーム腰半径：10 μm（z=0）。
• 高次例：P = 2, 3 で Q_H = −2, −3。
• 補足の“飛行”例：条件良好では 5 周期合算で Q_H ≈ 4.98、条件不良では ≈ 3.5。
• 3D 結晶：理想的には 1 波長あたり 17 ソース、二色で 33 位置（近接波長なら近似して簡素化可）。

想定される適用レンジと限界

本稿は理論・数値設計であり、実験的生成や雑音・誤差への堅牢性評価は未実施です。周波数帯（光・テラヘルツ・マイクロ波）への拡張可能性は示唆されますが、実装の具体化はデバイス（例：双極子アンテナ配列、マイクロアンテナ、SLM 等）の工程設計に依存します。Q の自在制御は P に比べて難度が高く、符号操作は容易であるものの、完全な任意制御に向けた最短経路は今後の課題として残ります。