ざっくり解説する「6174魔法」の正体
今回は先端数学の話しなのでかなり難しいです。
そこで本文とは別に、ざっくり読めるバージョンを最初に用意しました。
もし興味が出たら、ぜひあったら詳しい解説のほうも読んでみてください。
「6174の魔法」を体験するのは、小学生でも可能です。
ゾロ目（1111や7777のように同じ数字が並んだもの）以外で、好きな4ケタの数字を一つ、頭に思い浮かべてください。
ここでは、第二次世界大戦が始まった年「1939」を選ぶことにします。
この4つの数字を使って、たった3つのことをします。
①大きい順に並べる → 9931
②小さい順に並べる → 1399
③大きいほうから小さいほうを引く → 9931 − 1399 ＝ 8532
それだけです。
ここまでは、数字を並べ替える幼稚園レベルの遊びと、4ケタの引き算という小学生レベルの計算だけです。何も難しいことはありません。
ところが、出てきた答え「8532」に、もう一度まったく同じことをしてみると、大学を飛び越えて先端数学の世界へ突き抜けます。
「8532」を大きい順に並べると「8532」、小さい順に並べると「2358」。引き算すると――
8532 − 2358 ＝ 6174
ここで、いよいよ「6174の魔法」の本番です。
出てきた「6174」に、もう一度同じことをやってみましょう。
「6174」を大きい順に並べると「7641」、小さい順に並べると「1467」。引き算すると――
7641 − 1467 ＝ 6174
なんと、また「6174」が出てきました。
つまり、一度6174にたどり着くと、その先は何度くり返しても6174のまま。びくともしないのです。
そして、本当に驚くべきなのはここからです。
これは「1939」だけの特別なことではありません。ゾロ目でない限り、どんな4ケタの数字から始めても、最大でも7回くり返せば、必ずこの6174にたどり着いてしまうのです。
1234から始めても。9876から始めても。途中の道のりはそれぞれ違うのに、行き先はいつも同じ6174です。
出発点が違っても、行き先は同じ。まるで数字の世界に、目には見えない重力が働いているようです。
6174は、入った数字を吸い込んで二度と離さない、ちょっとしたブラックホールのような存在なのです。
では、この重力の正体は何なのでしょうか。
それを探した研究者たちは、意外なところから始めました。
研究者たちが最初にやったのは、「4ケタの数字を、ぜんぶ覚えるのをやめる」ことでした。
「数の謎に挑むのに、数字を忘れてどうするんだ?」と思うかもしれません。でも、ここに最初のタネがあります。
たとえば「8532」。私たちはふつう、これを「8と5と3と2の集まり」だと感じます。4人の登場人物がいる感覚です。
ところが研究者たちは、4人ぜんぶを追いかける必要はないことに気づきました。
本当に必要だったのは、たった2つの差だけだったのです。
一つは、1位（いちばん大きい数字）と4位（いちばん小さい数字）の差。
もう一つは、2位と3位（真ん中の2つ）の差。
8532を大きい順に「8・5・3・2」と並べると、
- 1位「8」と4位「2」の差は、8 − 2 ＝ 6
- 2位「5」と3位「3」の差は、5 − 3 ＝ 2
つまり「8532」は、研究者の目には「6と2」という、たった2つの数に見えていたのです。
ずいぶん乱暴に情報を捨てているようですが、これで十分でした。
確かめてみましょう。「8532」とはまるで似ていない「7421」を見てみます。
- 1位「7」と4位「1」の差は、7 − 1 ＝ 6
- 2位「4」と3位「2」の差は、4 − 2 ＝ 2
こちらも「6と2」。8532と同じです。
では実際に操作してみると、
- 8532 − 2358 ＝ 6174
- 7421 − 1247 ＝ 6174
見た目はまるで別人なのに、行き先はぴったり同じでした。
実際「1位と4位の差6」かつ「2位と3位の差2」という条件を満たすゾロ目ではない4ケタならば、どんなものでも1度の操作で必ず6174に到達します。
魔法を起こしている操作が見ていたのは、数字の形ではなかったのです。「1位と4位の差」「2位と3位の差」という、2つの距離だけだったのです。
でも、まだ魔法のタネそのものは見えません。研究者たちは、この2つの差に、最後のひと工夫を加えました。
研究者たちが加えたひと工夫は、とても簡単なものでした。
2つの差を、「足して半分にした数」と、「引いて半分にした数」に置き換えたのです。
たとえば、ある場面で2つの差が「5」と「1」だったとします。
- 足して半分 → (5 + 1) ÷ 2 ＝ 3
- 引いて半分 → (5 − 1) ÷ 2 ＝ 2
こうして「3」と「2」という、新しい2つの数が手に入ります。
何気ない操作に思えますが、この新しいメガネをかけた瞬間、目の前の景色が一変しました。
これまで私たちが見ていた操作は、こうでした。
「大きい順に並べる」
「小さい順に並べる」
「引き算する」
（また並べ替えて、引いて……のくり返し)
ごちゃごちゃとした、面倒な手作業の連続です。どこにも魔法のタネは見えません。
ところが、新しいメガネを通すと、その景色が、たった一言になりました。
「×2」
それだけ。
さっきの「3」と「2」が、操作を1回するたびに、それぞれ進数の盤面上のような、ちょっと特殊な世界で「2倍の位置」へ動きます。
あの複雑な並べ替え引き算の裏に住んでいたのは、裏の世界ではただ数を2倍するだけの、単調な仕組みだったのです。
「大きい順に並べる」
「小さい順に並べる」
「引き算する」
（また並べ替えて、引いて……のくり返し)
この操作をすると毎回ちがう答えが現れ、数字が激しく入れ替わります。
だから私たちは、その裏にもさぞ複雑な機械が隠れているのだろうと思い込んでいました。
でも、衣装をはぎ取った下にいたのは、ただ淡々と2倍をくり返す、一つの単純な歯車でした。
今回の研究では特に、このような共通ルールが3より大きな奇数の進数「5進数、7進法、9進法、11進法……」において共通することが示されました。また私たちに馴染み深い10進数を含むその他のいくつかの進数についても、6174的な特定の形の終末を迎える可能性があると予測しています。
「単純な仕組みが末端で複雑化したものを人間が法則として拾っていた」とも言えるでしょう。
裏で単純なリズムを刻む歯車が、表側に出てきたとき、人間の目に「法則」としてありがたがれ、不思議がられる程度には複雑な顔をしてみせていた・・・もしかしたら人間がみつけた法則とは、ほとんどがそんなものなのかもしれません。
