法則の正体は「×2」だった
研究者たちが次に打った決定的な一手は、秩序の区画に入った数字に対して、研究者たちはもうひと工夫を加えることでした。
「1位と4位の差」と「2位と3位の差」という2つの差に、「足して2で割る」「引いて2で割る」という、ちょっとした調整を加えたのです。
何気ない操作ですが、この新しいメガネを通して見たとき、目の前に広がった景色は、信じがたいものでした。
最初、私たちが見ていたカプレカ操作の景色は、
「大きい順に並べる」
「小さい順に並べる」
「引き算する」
（また並べ替えて、引き算して……のくり返し)
という、ごちゃごちゃとした、面倒くさい手作業の連続です。
子供の数遊びにはなりますが、魔法の正体のカケラすら見えません。
ところが、新しいメガネを通して見た景色は、たった一言で言い表せるものでした。
「×2」
それだけでした。
並べ替えたり引き算したりの繰り返しという複雑そうな並べ替え引き算の裏に住んでいたのは、ただ数を2倍するだけの、世界でいちばん退屈な動きでした。
私たちは、それを見るのにふさわしい”メガネ”を、これまでかけていなかっただけだったのです。
コラム：進数世界の「×2」とは？
今回の研究で見出された「×2」は、ふつうの2倍とは少し違います。
3を2倍したら6、4を2倍したら8、5を2倍したら10——と、どこまでも大きくなっていくのが普通の2倍です。けれど、ここで研究者たちが見つけたのは、ある”小さな世界の上”での2倍でした。
時計の文字盤を思い出してみてください。12を超えると一周してリセットする世界です。「10時の3時間後は何時?」と聞かれたら、ふつうに足し算すれば13時です。けれども、時計の文字盤の上では、針はぐるりと一周して「1時」を指しています。
この世界では2倍の意味も少し変わります。
たとえば時計の上に「3」を置きます。これを2倍にすると6です。12を超えない限りリセットは起こりません。しかし「7」を2倍すると、12を超えたぶんを差し引き、2という数になります。
7を2倍すると2というのが、研究者たちが言う進数世界（12進数世界）の「×2」の姿なのです。
しかも、論文の見つけた時計には、もう一つだけ特殊な性質がありました。
それは「半分に折り畳まれている」ことです。
たとえば11進法の時計を想像してみてください。
目盛りは11個ありますが、その文字盤を真ん中で折り曲げて、ぴたっと半分に畳むのです。
11進数の時計版の真ん中に線を入れて、円を半分にするイメージです。
すると、こんなことが起こります。
「2」と「9」は同じ場所として扱われます。
「3」と「8」も同じ場所。
「4」と「7」も同じ場所。
「5」と「6」も同じ場所です。
私たちが普段、別の数字だと思っているものたちが、ペアを組んで一つの座席にいる──そんな不思議な時計が、論文の見つけた舞台でした。
（※11の世界では、9という数字は「11まであと2」の位置にいます。これは、特定の計算の上で「マイナス2」とまったく同じ働きをして見えます。プラス2とマイナス2が同じ場所に重なる――だから、時計が半分に折り畳まれて見えるのです。）
そして研究者たちはカプレカ操作を1回行うと、舞台裏では──さきほどの先ほどの「足して2で割った数」と「引いて2で割った数」が、この折り畳まれた時計の上で、それぞれ「2倍の位置」へ飛び移っていることを突き止めました。
「大きい順に並べる」
「小さい順に並べる」
「引き算する」
（また並べ替えて、引き算して……のくり返し)
という、かなり面倒な処理が続いていますが裏側では、2つの数字が、折り畳まれた時計の上で、ただ淡々と2倍されているだけだったのです。
さらに同様の仕組みが、3より大きな奇数の進数（5進数、7進数、9進数、11進数・・・）で全て共通して存在することが発見されました。
7進法で見た「3つの数字のループ」も、別の世界の「5つの数字のループ」も、すべては「折り畳まれた時計の上で2倍をくり返す」という、たった一つの動きから生まれていました。
進法の世界が変われば、時計の目盛りの数が変わります。
目盛りが変われば、元の場所に戻ってくるまでの歩数が変わります。
歩数が変われば、ループの大きさも変わります。
だから、終わり方の姿は世界ごとにバラバラだったのです。
でも、舞台の上で起きている動きそのものは、どの世界でも同じ「2倍して、次の場所へ飛ぶ」ただ、それだけだったのです。
