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「万物の理論」は数式や公理だけで構築できないことが論証された (4/4)

2025.09.03 17:30:26 Wednesday

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専門化向けざっくり解説

1) 問題設定：量子重力を「有限・計算可能」な形式系として捉える

著者は、量子重力の計算核（computational core）を以下の形式系として明示化する。

F_QG = { L_QG, Σ_QG, R_alg }
— L_QG：一次言語（量子状態・曲率・因果関係などの語彙）
— Σ_QG：有限または再帰的列挙可能な閉文の集合（公理）
— R_alg：効果的推論規則（計算可能な導出規則）

(i) effective axiomatizability（Σ_QG は有限/再帰的列挙可能）、(ii) arithmetic expressiveness（自然数演算を内部表現可能）、(iii) internal consistency（矛盾なし）、(iv) empirical completeness（物理現象を予言・説明）。この前提の下で、時空は F_QG の定理レベルで出現する（emergent）とする（例：弦理論・LQG・ホログラフィ等）。

2) 論理三定理の適用：計算核 F_QG の限界

ゲーデル第1定理：Th(F_QG) は True(F_QG) の真部分集合（proper subset）。
記法（Word安全な表現）：
Th(F_QG) := { phi in L_QG : Prov(Σ_QG, R_alg, phi) }
True(F_QG) := { phi in L_QG : true_in_standard_model(phi) }
結論：Th(F_QG) ⊂ True(F_QG)。すなわち、F_QG では真だが証明不能な命題が必ず存在。
ゲーデル第2定理：自己無矛盾性 Con(F_QG) := not Prov(Σ_QG, R_alg, contradiction) は F_QG 内では証明不能。
タルスキーの定義不可能定理：L_QG 内に「全域真理述語」Truth(x) を定義し、Prov(Σ_QG, R_alg, Truth(code(phi)) ↔ phi) を全 φ で満たすことは不可能。
チャイティンの情報理論的不完全性：定数 K_FQG が存在し、Kolmogorov 複雑度 K(S) > K_FQG なる文 S は F_QG で決定不能（不可判定）。

帰結：純粋にアルゴリズム的（計算可能）な TOE は原理的に不可能。F_QG は真理全体を捉えきれず、自己健全性も内部証明できない。

3) メタ万物理論 MToE：外部真理述語と非効果的推論の導入

不足を補うため、著者は外部真理述語 T(x) と非効果的推論規則 R_nonalg を付加した拡張を提案：
MToE = { L_QG ∪ {T}, Σ_QG ∪ Σ_T, R_alg ∪ R_nonalg }。

Σ_T（T に関する外部公理）は次を満たす：
(S1) soundness for F_QG（T( code(phi) ) が公理なら phi は F_QG の全モデルで成り立つ）、
(S2) reflective completeness（もし Σ_QG ⊢_alg phi なら、(phi → T(code(phi))) を Σ_T に含める）、
(S3) modus-ponens closure（T は論理的帰結に閉じる）、
(S4) trans-algorithmicity（Th_T := { phi | T(code(phi)) in Σ_T } は再帰的列挙不能；任意に大きい Kolmogorov 複雑度の命題を T-真として扱える）。

F_QG では決定不能な命題（例：特定のブラックホール・マイクロステートの実在性等）にも、T を介して意味論的（semantic）な真理付与を行い、ゲーデル型障害を越える。

4) 物理への含意：不可判定性が顕在化する領域

熱化（thermalization）の不可判定性：多体系の熱化判定は一般に不可判定。Planck 領域から古典時空への“熱的再出現”を厳密に追跡するには MToE の枠が必要【8:p.5†】。
スペクトルギャップ問題（局所量子 Hamiltonian のギャップ有無）：不可判定。
RG フローの非計算性：一般のリナーマリゼーション群流が非計算的になり得る。
テンソルネットワーク／スピンネットの計算困難性、2次元 QFT の不可判定的性質など、現代理論物理の要所に不可判定セクターが散在。

計算核 F_QG の上に、T を用いる MToE を重ねることで、非計算的だが物理的に意味のある性質を“証明不能＝無意味”にしない。これは「計算説明の破綻 ≠ 科学の破綻」を保証する構造だと位置付ける。

5) シミュレーション仮説への示唆

「宇宙は計算機上で完全に再現可能」という前提は、F_QG 全体＝物理理論の全体という同一視に依存する。しかし MToE は、物理的真理が F_QG を越えて非計算層（T）を含むことを主張。ゆえに有限アルゴリズムによる宇宙の完全再現は原理的に不可能、との結論に至る。

6) 位置づけと限界

位置づけ：F_QG を厳密な形式系とみなし、論理三定理（Gödel–Tarski–Chaitin）を系統的に適用したうえで、T(x) と非効果的推論を導入するメタ理論構成を提示。Lucas–Penrose 型の「非アルゴリズム的理解」の物理的表現としても読むことができるがT の自然化（自然界における実在化）と検証戦略は今後の課題。OR（orchestrated objective reduction）等との関連付けは興味深いが、ここでは構想段階に留まる。

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